进制与转换

一、数字系统的发展历程

1. 远古时代：非位置计数系统

• 人类最初记数是用 结绳记事、刻痕、石子。
• 后来发展出一些符号，比如罗马数字：
  • Ⅰ = 1, Ⅴ = 5, Ⅹ = 10，L = 50，C = 100，D = 500，M = 1000
  • 特点：
    • 符号有限
    • 数值靠符号相加/相减表示，小在大前则相减，大在小则相加。
    • 同以符号不能出现超过3次， 所以数字四不能写成 IIII 必须写成 IV（5-1）
    • 用“加横线”规则：一条横线 = 乘 1000。
• 缺点：
  • 表示大数很麻烦（例如 2024 写成 MMXXIV）。
  • 没有统一的“位权”概念。

2. 位置计数系统的出现

早在 公元 3 世纪左右，印度学者就已经发明了 十个数字符号（0–9），以及最重要的概念：“0” 和 位值制（位置计数系统）

• 关键发明是 “零” 的引入。
• 印度—阿拉伯数字体系：0–9 十个数字，靠位置决定大小。
• 特点：
  • 同一个符号“2”，在不同位置代表不同数值。
  • 例如：234 = 2×100 + 3×10 + 4×1。
• 优点：
  • 大数、小数都可以清晰表示。
  • 运算规则统一，便于计算。
• 这就是我们日常使用的 十进制。

二、常见的进制系统

1. 十进制（Decimal，基数 10）
   • 数字范围：0–9
   • 每一位的权重：10ⁿ
   • 举例：347 = 3×10² + 4×10¹ + 7×10⁰
2. 二进制（Binary，基数 2）
   • 数字范围：0, 1
   • 权重：2ⁿ
   • 计算机的底层语言（电路只有通电/断电）。
   • 举例：1011₂ = 1×2³ + 0×2² + 1×2¹ + 1×2⁰ = 11
3. 八进制（Octal，基数 8）
   • 数字范围：0–7
   • 权重：8ⁿ
   • 计算机早期常用来简化二进制（3 位二进制可对应 1 位八进制）。
4. 十六进制（Hexadecimal，基数 16）
   • 数字范围：0–9 + A–F (表示 10–15)
   • 权重：16ⁿ
   • 程序设计、内存地址常用，方便人类阅读二进制（4 位二进制对应 1 位十六进制）。
   • 例：0x1F = 1×16¹ + 15 = 31

三、进制的转换方法

1. N进制 → 十进制

N进制转十进制的方法为：按权展开

NOTE

按权展开:每一位数字 × 基数^位置指数，然后相加。

• 二进制转十进制
  • 例：1011₂
  • = 1×2³ + 0×2² + 1×2¹ + 1×2⁰
  • = 8 + 0 + 2 + 1 = 11
• 八进制转十进制
  • 例：157₈
  • = 1×8² + 5×8¹ + 7×8⁰
  • = 64 + 40 + 7 = 111
• 十六进制转十进制
  • 例：2F₁₆ （F=15）
  • = 2×16¹ + 15×16⁰
  • = 32 + 15 = 47

2. 十进制 → N进制

十进制转N进制的方法为：短除法取余（整数部分）

NOTE

短除法取余:不断除以目标进制，记录余数，倒序排列。

例1：十进制 → 二进制

• 把 23 转二进制

  23 ÷ 2 = 11 余 1
  11 ÷ 2 = 5 余 1
  5 ÷ 2 = 2 余 1
  2 ÷ 2 = 1 余 0
  1 ÷ 2 = 0 余 1

• 倒序写余数 → 10111₂

例2：十进制 → 八进制

• 把 79 转八进制

  79 ÷ 8 = 9 余 7
  9 ÷ 8 = 1 余 1
  1 ÷ 8 = 0 余 1

• 倒序 → 117₈

例3：十进制 → 十六进制

• 把 254 转十六进制

   254 ÷ 16 = 15 余 14 (E)
   15 ÷ 16 = 0 余 15 (F)

• 倒序 → FE₁₆

3. N 进制到 M 进制

一般地，N进制到M进制需要借助十进制作为中间过度，也就是首先把N进制的数用十进制表示，再转成Ｍ进制：

四、Python 常用进制函数

函数	功能	示例
bin(x)	将整数 x 转为二进制字符串	bin(10) → '0b1010'
oct(x)	将整数 x 转为八进制字符串	oct(15) → '0o17'
hex(x)	将整数 x 转为十六进制字符串	hex(31) → '0x1f'
int(x, base)	将字符串 x 按 base 转为整数	int('1010',2) → 10；int('1f',16) → 31

TIP

int(x,base)函数的字符串x可以是带进制前缀(‘0b’,‘0o’,‘0x’)的字符串，但是要注意必须和base一致，否则无法进行转换。因为对于Python的int()函数，是按参数base来转换的，但是如果base为2，但用了 0o 前缀，这里会出现矛盾，导致函数无法正常转换。

使用示例：

# 表示法
a = 0b1010  # 二进制 10
b = 0o17    # 八进制 15
c = 123     # 十进制 123
d = 0x1F    # 十六进制 31

# 函数转换
print(bin(10))   # '0b1010'
print(oct(15))   # '0o17'
print(hex(31))   # '0x1f'

# 字符串转整数
print(int('1010', 2))  # 10
print(int('17', 8))    # 15
print(int('1f', 16))   # 31

五、习题

1. 写出以下数字的 10 进制数

# 二进制
a = 0b1011
b = 0b11010
c = 0b111111

# 八进制
d = 0o17
e = 0o25
f = 0o77

# 十六进制
g = 0x1F
h = 0x2A
i = 0xFF

2. 将十进制数字 45 转换为二进制、八进制、十六进制。

3. 程序设计：写一个 Python 函数 convert(num_str, base_from, base_to)，可以将任意进制字符串 num_str 从 base_from 转为 base_to，返回十六进制或八进制等字符串。